Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P是底面ABCD的对角线AC上的动点，则下列说法正确的是

1. A.
   平面BC₁D与平面A₁PC₁一定垂直
2. B.
   平面BC₁D与平面A₁PC₁一定不垂直
3. C.
   平面DCC₁与平面A₁PB₁一定平行
4. D.
   平面DCC₁与平面A₁PB₁一定不平行

Answer 1

A
分析：直接根据正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，有BD⊥AC，BD⊥AA₁；得到BD⊥平面ACC₁A₁；进而得到平面BDC₁⊥平面ACC₁A₁；再结合平面A₁PC₁与平面ACC₁A₁重合即可得到答案A成立．B，C，D均可举出反例说明其不成立．
解答：
因为在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
有BD⊥AC，BD⊥AA₁；
且AC∩AA₁=A；
∴BD⊥平面ACC₁A₁；
BD⊆平面BDC₁；
∴平面BDC₁⊥平面ACC₁A₁；
∵点P是底面ABCD的对角线AC上的动点；
∴平面A₁PC₁与平面ACC₁A₁重合．
故平面BC₁D与平面A₁PC₁一定垂直．
故选：A．
点评：本题主要考查平面之间的位置关系．一般在证明面面垂直时，常用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．