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已知双曲线C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率e=
5
2
,虚轴长为2.
(Ⅰ)求双曲线C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m与双曲线C相交于A,B两点(A,B均异于左、右顶点),且以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.
考点:直线与圆锥曲线的综合问题
专题:圆锥曲线中的最值与范围问题
分析:(Ⅰ)由已知得:
c
a
=
5
2
,2b=2,易得双曲线标准方程;
(Ⅱ))设A(x1,y1),B(x2,y2),联立
y=kx+m
x2
4
-y2=1
,得(1-4k2)x2-8mkx-4(m2+1)=0,以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D(-2,0),∴kADkBD=-1,即
y1
x1+2
y2
x2+2
=-1
,代入即可求解.
解答: 解:(Ⅰ)由题设双曲线的标准方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)

由已知得:
c
a
=
5
2
,2b=2,又a2+b2=c2,解得a=2,b=1,
∴双曲线的标准方程为
x2
4
-y2=1

(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立
y=kx+m
x2
4
-y2=1
,得(1-4k2)x2-8mkx-4(m2+1)=0,
1-4k2>0
△=64m2k2+16(1-4k2)(m2+1)>0
x1+x2=
8mk
1-4k2
<0
x1x2=
-4(m2+1)
1-4k2
>0

y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=
m2-4k2
1-4k2

以AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D(-2,0),
∴kADkBD=-1,即
y1
x1+2
y2
x2+2
=-1

∴y1y2+x1x2+2(x1+x2)+4=0,
m2-4k2
1-4k2
+
-4(m2+1)
1-4k2
+
16mk
1-4k2
+4=0

∴3m2-16mk+20k2=0.
解得m=2k或m=
10k
3

当m=2k时,l的方程为y=k(x+2),直线过定点(-2,0),与已知矛盾;
当m=
10k
3
时,l的方程为y=k(x+
10
3
),直线过定点(-
10
3
,0),经检验符合已知条件.
故直线l过定点,定点坐标为(-
10
3
,0).
点评:本题主要考查双曲线方程的求解,以及直线和圆锥曲线的相交问题,联立方程,转化为一元二次方程,利用根与系数之间的关系是解决本题的关键.综合性较强,运算量较大.
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α
2
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