Question

已知函数f（x）=a-

1

2x+1

．
（1）求证：不论a为何实数，函数f（x）在R上总为增函数；
（2）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（3）当函数f（x）为奇函数时，若对任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，证明f'（x）＞0在其定义域R上恒成立即可；
（2）利用函数为奇函数时，f（0）=0，求得a的值，再验证f（-x）=-f（x）即可；
（3）利用函数f（x）是R上的增函数，且为奇函数，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0等价于mt²-mt+2＞0，对m讨论，即可求得实数m的取值范围．

解答：（1）证明：求导函数可得f'（x）=

2xln2

(2x+1)2

∵（2^x+1）²＞0，2^x＞0，ln2＞0
∴f'（x）＞0在其定义域R上恒成立
∴不论a为何实数f（x）总是R上的增函数；
（2）解：∵f（x）定义域为R，
∴若函数为奇函数时，f（0）=a-

1

20+1

=0，∴a=

1

2

当a=

1

2

时，f（x）=

1

2

-

1

2x+1

=

2x-1

2(2x+1)

，∴f(-x)=

2-x-1

2(2-x+1)

=-

2x-1

2(2x+1)

=-f（x），符合题意．
因此，当a=

1

2

时，函数f（x）为奇函数；
（3）解：∵函数f（x）为奇函数，∴不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0等价于f（mt²+1）＞f（mt-1）
∵f（x）是R上的增函数，∴mt²+1＞mt-1，∴mt²-mt+2＞0
∴对任意的t∈R，不等式f（mt²+1）+f（1-mt）＞0恒成立，等价于mt²-mt+2＞0恒成立
①m=0时，2＞0成立；
②

m＞0 m2-8m＜0

，∴0＜m＜8
综上，0≤m＜8．

点评：本题考查函数的单调性与奇偶性，考查恒成立问题，利用函数的单调性与奇偶性，化不等式为具体不等式是关键．