Question

已知集合 A={x||x-1|＜2}，B={x|x²+ax-6＜0}，C={x|x²-2x-15＜0}
（1）若A∪B=B，求a的取值范围；
（2）是否存在a的值使得A∪B=B∩C，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵集合 A={x||x-1|＜2}，B={x|x²+ax-6＜0}，C={x|x²-2x-15＜0}
∴A={x|-1＜x＜3}，C={x|-3＜x＜5}，
由A∪B=B知A⊆B，令f（x）=x²+ax-6，
则
得-5≤a≤-2
（2）假设存在a的值使A∪B=B∩C，
由A∪B=B∩C⊆B知A⊆B，
又B⊆A∪B=B∩C知B⊆C，
∴A⊆B⊆C．
由（1）知若A⊆B，则a∈[-5，1]
当B⊆C时，△=a²+24＞0，
∴B≠φ
∴得，
故存在 a∈[-，-1]满足条件．
分析：（1）根据绝对值不等式的性质，解出集合A，再由A∪B=B，可得A⊆B，从而利于子集的性质进行求解；
（2）假设存在a的值使A∪B=B∩C，根据子集的定义，可得A⊆B⊆C，从而推出B≠∅，求出a的范围；
点评：此题主要考查集合中参数的取值范围及集合和子集的概念，此题计算比较复杂，第二问要先假设a存在，求出a后再判断是否符合题意，是一道中档题；