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已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3),若f(x)的最大值为正数,则实数a的取值范围是
-2-
3
>a或0>a>-2+
3
-2-
3
>a或0>a>-2+
3
分析:不等式f(x)>-2x的解集为(1,3),得方程f(x)=-2x两个根是1,3.由此可得出二次函数f(x)中的系数间的关系,又f(x)的最大值为正数,得二次项系数a<0且可以得到关于a的不等关系,解之即可.
解答:解:设f(x)=ax2+bx+c,(a<0),由题意得方程f(x)=-2x两个根是1,3,
即ax2+(b+2)x+c=0两个根是1,3.
-
b+2
a
=4
c
a
=3
⇒b=-4a-2,c=3a
又f(x)的最大值为正数,即
4ac-b2
4a
>0

消去b,c得到关于a不等式a(a2+4a+1)<0,因为a<0,
解得-2-
3
>a或0>a>-2+
3

故答案为:-2-
3
>a或0>a>-2+
3
点评:本小题主要考查二次函数的性质、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程的数学思想、化归与转化思想.属于基础题.
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