Question

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3），若f（x）的最大值为正数，则实数a的取值范围是

-2-

3

＞a或0＞a＞-2+

3

．

Answer 1

分析：不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3），得方程f（x）=-2x两个根是1，3．由此可得出二次函数f（x）中的系数间的关系，又f（x）的最大值为正数，得二次项系数a＜0且可以得到关于a的不等关系，解之即可．

解答：解：设f（x）=ax²+bx+c，（a＜0），由题意得方程f（x）=-2x两个根是1，3，
即ax²+（b+2）x+c=0两个根是1，3．
∴

- b+2 a =4 c a =3

⇒b=-4a-2，c=3a
又f（x）的最大值为正数，即

4ac-b2

4a

＞0
消去b，c得到关于a不等式a（a²+4a+1）＜0，因为a＜0，
解得-2-

3

＞a或0＞a＞-2+

3

．
故答案为：-2-

3

＞a或0＞a＞-2+

3

点评：本小题主要考查二次函数的性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的数学思想、化归与转化思想．属于基础题．