【题目】近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国,下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下所示.
题号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | 0.100 | ||
第2组 | ① | ||
第3组 | 20 | ② | |
第4组 | 20 | 0.200 | |
第5组 | 10 | 0.100 | |
第6组 | 100 | 1.00 |
(1)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据,再完成如下的频率分布直方图;
(2)组委会决定在5名(其中第3组2名,第4组2名,第5组1名)选手中随机抽取2名选手接受考官进行面试,求第4组至少有1名选手被考官面试的概率.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)第1组的频数为人,所以①处应填的数为,从而第2组的频数为,因此②处应填的数为,即可得到答案。
(2)设第3组的2名选手为,第4组的2名选手为,第5组的1名选手为,利用列举法得到基本事件的总数,再利用古典概型及其概率的计算公式,即可求解。
(1)第1组的频数为人,所以①处应填的数为,从而第2组的频数为,因此②处应填的数为.
频率分布直方图如图所示,
(2)设第3组的2名选手为,第4组的2名选手为,第5组的1名选手为,则从这5名选手中抽取2名选手的所有情况为,,,共10种,
其中第4组的2名选手中至少有1名选手人选的有,共7种,所以第4组至少有1名选手被考官面试的概率为.
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【题目】(1)已知函数,函数的导函数为.
①求函数的定义域;
②求函数的零点个数.
(2)给出如下定义:如果是曲线和曲线的公共点,并且曲线在点处的切线与曲线在点处的切线重合,则称曲线与曲线在点处相切,点叫曲线和曲线的一个切点.试判断曲线:与曲线:是否在某点处相切?若是,求出所有切点的坐标;若不是,请说明理由.
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【题目】如图,四棱柱中,底面是矩形,且, , ,若为的中点,且.
(Ⅰ)求证: 平面;
(Ⅱ)线段上是否存在一点,使得二面角的大小为?若存在,求出的长;若不存在,说明理由.
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【题目】设椭圆:的离心率为,椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知过的直线与椭圆交于、两点,且两点与左右顶点不重合,若,求四边形面积的最大值.
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【题目】一批用于手电筒的电池,每节电池的寿命服从正态分布(寿命单位:小时).考虑到生产成本,电池使用寿命在内是合格产品.
(1)求一节电池是合格产品的概率(结果四舍五入,保留一位小数);
(2)根据(1)中的数据结果,若质检部门检查4节电池,记抽查电池合格的数量为,求随机变量的分布列、数学期望及方差.
附:若随机变量服从正态分布,则,,.
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【题目】已知曲线C的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,过极点的两射线、相互垂直,与曲线C分别相交于A、B两点(不同于点O),且的倾斜角为锐角.
(1)求曲线C和射线的极坐标方程;
(2)求△OAB的面积的最小值,并求此时的值.
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【题目】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:
①;
②;
③;
④;
⑤;
(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.
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