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    证明函数f（x）=x+数学公式在（1，+∞）上是增函数．

    解：设x1、x2∈（1，+∞），且x1＜x2，得
    f（x1）-f（x2）=（x1+）-（x2-）
    =（x1-x2）+（-）=（x1-x2）（1-）
    ∵x1＞1，x2＞1
    ∴x1x2＞1，得∈（0，1），1-＞0
    又∵x1＜x2，得x1-x2＜0
    ∴（x1-x2）（1-）＜0，可得f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）
    综上所述，可得：函数f（x）=x+在（1，+∞）上是增函数．
    分析：在区间（1，+∞）上设自变量x1、x2满足x1＜x2，得f（x1）-f（x2）=（x1-x2）（1-），经讨论得f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），最后根据函数单调性的定义得函数在（1，+∞）上是增函数．
    点评：本题给出函数f（x）=x+，要求我们用单调性的定义证明函数在（1，+∞）上是增函数．着重考查了用定义证明函数的单调性的一般方法，属于基础题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    探究函数f(x)=x+
    4
    x
    ，x∈(0，+∞)    的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
    x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
    y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.002 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
    请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
    （1）函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    在区间（0，2）上递减，函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    在区间
     
    上递增；
    （2）函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    ，当x=
     
    时，y最小=
     
    ；
    （3）函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＜0)    时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对于定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被函数g（x）替代．
    （1）若f(x)=
    x
    2
    -
    1
    x
    ，g(x)=lnx    ，试判断在区间[[1，e]]上f（x）能否被g（x）替代？
    （2）记f（x）=x，g（x）=lnx，证明f（x）在(
    1
    m
    ，m)(m＞1)    上不能被g（x）替代；
    （3）设f(x)=alnx-ax，g(x)=-
    1
    2
    x2+x    ，若f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，求实数a的范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设g（x）=2x+
    1
    x
    ，x∈[
    1
    4
    ，4]．
    （1）求g（x）的单调区间；（简单说明理由，不必严格证明）
    （2）证明g（x）的最小值为g（
    		2
    2
    ）；
    （3）设已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=sinx，x∈[-
    π
    2
    ，
    π
    2
    ]，则f1（x）=-1，x∈[-
    π
    2
    ，
    π
    2
    ]，f2（x）=sinx，x∈[-
    π
    2
    ，
    π
    2
    ]，设φ（x）=
    g(x)+g(2x)
    2
    +
    |g(x)-g(2x)|
    2
    ，不等式p≤φ1（x）-φ2（x）≤m恒成立，求p、m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    观察下列表格，探究函数f(x)=x+
    4
    x
    ，x∈(0，+∞)    的性质，
    x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
    y … 8.5 5 4.17 4.05 4.005 4 4.005 4.02 4.04 4.3 5 5.8 7.57 …
    （1）请观察表中y值随x值变化的特点，完成以下的问题．
    函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    在区间（0，2）上递减；
    函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＞0)    在区间
    （2，+∞）
    （2，+∞）
    上递增．
    当x=
    2
    2
    时，y最小=
    4
    4
    ．
    （2）证明：函数f(x)=x+
    4
    x
    在区间（0，2）递减．
    （3）函数f(x)=x+
    4
    x
    (x＜0)    时，有最值吗？是最大值还是最小值？此时x为何值？（直接回答结果，不需证明）

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年广东省惠州一中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版） 题型：解答题

    设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）．数列{an}满足．
    （Ⅰ）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
    （Ⅱ）如果存在t、s∈N*，s≠t，使得点（t，as）、（s，at）都在直线y=kx-1上，试判断是否存在自然数M，当n＞M时，an＞0恒成立？若存在，求出M的最小值，若不存在，请说明理由；
    （Ⅲ）若a1=f（0），不等式对不小于2的正整数恒成立，求x的取值范围．

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