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    回答下列两个问题，给出例子或给出证明。

       （1）对任意正整数n，在平面上是否都存在n伸不在同一条直线上的点，使得任意两点间的距离都为正整数？

       （2）在平面上是否存在两两不同的无限点列组成的点集M，使得M内所有点不在同一条直线上，且M内任意两点间的距离为正整数？

    解析：（1）存在，对于n∈N+，取互不相同的n个质数P1，P2，…，Pn，

            令ai=P1P2…Pi，bi=Pi+1Pi+2…Pn，（i=1，2，…n－1），显然ai，bi∈N+，

            令m=P1P2…Pn，于是m=aibi（i=1，2，…，n－1）

            在y轴上取点A（0，2m），在x轴上取点，易知这n个点A，B1，B2，…，Bn－1­不在同一条直线上，且

             

       （2）不存在，不然，假高存在不共线的无限点列组成的点集M，且M内任意两点间的距离都为正整数，取不共线的三点A、B、C∈M，注意到三角形两边之差之绝对值小于第三边，则M内其余点到点A与点B的距离之差，只能取－|AB|到|AB|之间的整数值，而－AB到AB之间的整数值总共只有有限个，由双曲线定义可知，M内除去A、B、C三点的其余无限多个点必在以点A和点B为两个焦点的有限条互不相交的双曲线上，称它们为AB族双曲线，同理，M内除去A、B、C三点的其余无限多个点必在以点B和点C为两个焦点的有限条互不相交的双曲线上，称它们为BC族双曲线。

                由于A、B、C三点不共线，故两族双曲线的交点显然只有有限个，然而M内除去A、B、C三点的其余无限多个点中的每个点既在AB族双曲线上，又在BC族双曲线，从而必在两族双曲线的交点上，而两族双曲线的交点个数有限，矛盾？

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•金山区二模）（1）设u、v为实数，证明：u2+v2≥
    (u+v)2
    2
    ；（2）请先阅读下列材料，然后根据要求回答问题．
    材料：已知△LMN内接于边长为1的正三角形ABC，求证：△LMN中至少有一边的长不小于
    1
    2
    ．
    证明：线段AN、AL、BL、BM、CM、CN的长分别设为a1、a2、b1、b2、c1、c2，设LN、LM、MN的长为x、y、z，
    x2=a12+a22-2a1a2cos60°=a12+a22-a1a2
    同理：y2=b12+b22-b1b2，z2=c12+c22-c1c2，
    x2+y2+z2=a12+a22+b12+b22+c12+c22-a1a2-b1b2-c1c2
    …
    请利用（1）的结论，把证明过程补充完整；
    （3）已知n边形A1′A2′A3′…An′内接于边长为1的正n边形A1A2…An，（n≥4），思考会有相应的什么结论？请提出一个的命题，并给与正确解答．
    注意：第（3）题中所提问题单独给分，解答也单独给分．本题按照所提问题的难度分层给分，解答也相应给分，如果同时提出两个问题，则就高不就低，解答也相同处理．

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    科目：高中数学 来源： 题型：阅读理解

    （2009•金山区二模）设函数f（x）=x2+x．（1）解不等式：f（x）＜0；（2）请先阅读下列材料，然后回答问题．
    材料：已知函数g（x）=-
    1
    f(x)
    ，问函数g（x）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．一个同学给出了如下解答：
    解：令u=-f（x）=-x2-x，则u=-（x+
    1
    2
    ）2+
    1
    4
    ，
    当x=-
    1
    2
    时，u有最大值，umax=
    1
    4
    ，显然u没有最小值，
    ∴当x=-
    1
    2
    时，g（x）有最小值4，没有最大值．
    请回答：上述解答是否正确？若不正确，请给出正确的解答；
    （3）设an=
    f(n)
    2n-1
    ，请提出此问题的一个结论，例如：求通项an．并给出正确解答．
    注意：第（3）题中所提问题单独给分，．解答也单独给分．本题按照所提问题的难度分层给分，解答也相应给分，如果同时提出两个问题，则就高不就低，解答也相同处理．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    （1）设u、v为实数，证明：u2+v2≥数学公式；（2）请先阅读下列材料，然后根据要求回答问题．
    材料：已知△LMN内接于边长为1的正三角形ABC，求证：△LMN中至少有一边的长不小于数学公式．
    证明：线段AN、AL、BL、BM、CM、CN的长分别设为a1、a2、b1、b2、c1、c2，设LN、LM、MN的长为x、y、z，
    x2=a12+a22-2a1a2cos60°=a12+a22-a1a2
    同理：y2=b12+b22-b1b2，z2=c12+c22-c1c2，
    x2+y2+z2=a12+a22+b12+b22+c12+c22-a1a2-b1b2-c1c2
    …
    请利用（1）的结论，把证明过程补充完整；
    （3）已知n边形A1′A2′A3′…An′内接于边长为1的正n边形A1A2…An，（n≥4），思考会有相应的什么结论？请提出一个的命题，并给与正确解答．
    注意：第（3）题中所提问题单独给分，解答也单独给分．本题按照所提问题的难度分层给分，解答也相应给分，如果同时提出两个问题，则就高不就低，解答也相同处理．

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    科目：高中数学 来源：2009年上海市金山区高考数学二模试卷（文科）（解析版） 题型：解答题

    设函数f（x）=x2+x．（1）解不等式：f（x）＜0；（2）请先阅读下列材料，然后回答问题．
    材料：已知函数g（x）=，问函数g（x）是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由．一个同学给出了如下解答：
    解：令u=-f（x）=-x2-x，则u=-（x+）2+，
    当x=-时，u有最大值，umax=，显然u没有最小值，
    ∴当x=-时，g（x）有最小值4，没有最大值．
    请回答：上述解答是否正确？若不正确，请给出正确的解答；
    （3）设an=，请提出此问题的一个结论，例如：求通项an．并给出正确解答．
    注意：第（3）题中所提问题单独给分，．解答也单独给分．本题按照所提问题的难度分层给分，解答也相应给分，如果同时提出两个问题，则就高不就低，解答也相同处理．

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