Question

【题目】已知二次函数满足，对任意有恒成立.

（1）求的解析式；

（2）若，对于实数，记函数在区间上的最小值为，且恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意得出，即，可得出，由此可得出不等式恒成立，且当时等号成立，可得出，可解出实数的值，可得出的值，由此可得出函数的解析式；

（2）作出函数在上的图象，然后分、、三种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，得出的表达式，然后利用参变量分离法求出满足不等式恒成立的实数的取值范围.

（1）对任意的有恒成立，当时，则，

所以，，可得，，

所以不等式在上恒成立，即二次不等式在上恒成立，即二次不等式在上恒成立，当时等号成立，

，解得，，因此，；

（2）由题意可得.

作出函数在区间上的图象如下图所示：

当时，.

当时，，令，可得，得，

此时.

由图象可知，当时，函数在区间上的最小值为，

由，得，可得，

，则，

由于双勾函数在区间上单调递增，当时，，

则，此时，；

当时，函数在区间上的最小值为，

由，得，即对任意的恒成立，

则，解得；

当时，函数在区间上单调递增，

函数在区间上的最小值为，

由，可得，即.

函数在区间上单调递增，，，

此时，.

综上所述，实数的取值范围是.