Question

已知平面内一动点P到定点F（2，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于2．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作倾斜角为60°的直线l与轨迹C交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）两点，O为坐标原点，点M为轨迹C上一点，若向量

OM

=

OA

+λ

OB

，求λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据平面内一动点P到定点F（2，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于2，可得P到F的距离等于P到直线x=-2的距离，从而扩大圆心P的轨迹为以F（2，0）为焦点的抛物线，即可求得轨迹C的方程；
（Ⅱ）求出直线，代入抛物线方程，求出交点坐标，利用向量条件，可得M的坐标，结合点M为轨迹C上一点，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）∵平面内一动点P到定点F（2，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于2，
∴P到F的距离等于P到直线x=-2的距离
∴圆心P的轨迹为以F（2，0）为焦点的抛物线
∴轨迹C的方程为y²=8x；
（Ⅱ）设M（x，y），则直线l的方程为y=

3

（x-2）
代入y²=8x得：3x²-20x+12=0
∴x₁=

2

3

，x₂=6
∴y₁=-

4 3

3

，y₂=4

3

∵

OM

=

OA

+λ

OB

，
∴x=x₁+λx₂，y=y₁+λy₂，
∴x=

2

3

+6λ，y=-

4 3

3

+4

3

λ
∵点M为轨迹C上一点，∴y²=8x，
∴（-

4 3

3

+4

3

λ）²=8（

2

3

+6λ）
∴3λ²-5λ=0
∴λ=

5

3

或0．

点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．