Question

【题目】已知椭圆C： + =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆C上．（12分）
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根据椭圆的对称性，P3（﹣1， ），P4（1， ）两点必在椭圆C上，

又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），

∴P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）三点在椭圆C上．

把P2（0，1），P3（﹣1， ）代入椭圆C，得：

，解得a2=4，b2=1，

∴椭圆C的方程为 =1．

（2）

证明：①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，﹣yA），

∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，

∴ = = =﹣1，

解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．

②当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），

联立 ，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，

，x1x2= ，

则 = =

= = =﹣1，又b≠1，

∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，

∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，

当x=2时，y=﹣1，

∴l过定点（2，﹣1）．

【解析】（1.）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1， ），P4（1， ）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1， ）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．
（2.）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），联立 ，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．
【考点精析】本题主要考查了斜截式方程和椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握直线的斜截式方程：已知直线的斜率为，且与轴的交点为则：；椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．