A. | 1 | B. | 2 | C. | 3 | D. | 4 |
分析 由题易得$\frac{1}{{a}_{n}}$>0,通过裂项可得关系式$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$,并项相加即得$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}+1}$<$\frac{1}{{a}_{1}}$=3,另外可得$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}+1}$>$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+$\frac{1}{{a}_{3}+1}$>2,利用取整的定义即得结论.
解答 解:∵an+1=an2+an,即an+1-an=an2>0,
∴数列{an}是增数列,
又∵a1=$\frac{1}{3}$,
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$>0,
又∵an+1=an2+an,
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}({a}_{n}+1)}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$,
∴$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$,
∴$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}+1}$
=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}}$-$\frac{1}{{a}_{2016}}$
=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2016}}$
<$\frac{1}{{a}_{1}}$=3,
∵a1=$\frac{1}{3}$,an+1=an2+an,
∴a2=$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{9}$,a3=$\frac{16}{81}$+$\frac{4}{9}$=$\frac{52}{81}$,
∴$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+$\frac{1}{{a}_{3}+1}$=$\frac{3}{4}$+$\frac{9}{13}$+$\frac{81}{133}$>2,
即2<$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}+1}$<3,
∴[$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}+1}$]=2,
故选:B.
点评 本题考查数列的前n项和的求法,解题时要认真审题,裂项求和法的合理运用是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.
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A. | $[{-6,-\frac{3}{2}}]$ | B. | [-2,0] | C. | $[{-2,-\frac{3}{2}}]$ | D. | (-∞,-2] |
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