Question

19．已知数列{a_n}满足：a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=a_n²+a_n，用[x]表示不超过x的最大整数，如[2.6]=2，[-0.6]=-1，则 $[\frac{1}{{{a_1}+1}}+\frac{1}{{{a_2}+1}}+…+\frac{1}{{{a_{2015}}+1}}]$的值等于（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由题易得$\frac{1}{{a}_{n}}$＞0，通过裂项可得关系式$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，并项相加即得$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}+1}$＜$\frac{1}{{a}_{1}}$=3，另外可得$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}+1}$＞$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+$\frac{1}{{a}_{3}+1}$＞2，利用取整的定义即得结论．

解答 解：∵a_n+1=a_n²+a_n，即a_n+1-a_n=a_n²＞0，
∴数列{a_n}是增数列，
又∵a₁=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$＞0，
又∵a_n+1=a_n²+a_n，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}+1}$
=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}}$-$\frac{1}{{a}_{2016}}$
=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2016}}$
＜$\frac{1}{{a}_{1}}$=3，
∵a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=a_n²+a_n，
∴a₂=$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{3}$=$\frac{4}{9}$，a₃=$\frac{16}{81}$+$\frac{4}{9}$=$\frac{52}{81}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+$\frac{1}{{a}_{3}+1}$=$\frac{3}{4}$+$\frac{9}{13}$+$\frac{81}{133}$＞2，
即2＜$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}+1}$＜3，
∴[$\frac{1}{{a}_{1}+1}$+$\frac{1}{{a}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{a}_{2015}+1}$]=2，
故选：B．

点评 本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，裂项求和法的合理运用是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．