Question

【题目】(导学号：05856264)

已知函数f(x)＝aln x，e为自然对数的底数．

(Ⅰ)曲线f(x)在点A(1，f(1))处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为2，求实数a的值；

(Ⅱ)若f(x)≥1－恒成立，求实数a的值取值范围．

Answer 1

【答案】(1) a＝±4 (2) a的值为1

【解析】试题分析：（1）求出曲线的切线方程，根据三角形面积公式求出a的值即可；

（2）问题等价于alnx+﹣1≥0在（0，+∞）恒成立，令g（x）=alnx+﹣1，而g（1）=0，只需x=1是函数的极值点即可求出a的值．

试题解析：

(Ⅰ)f′(x)＝，则切线的斜率为f′(1)＝a.故曲线f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为

y－f(1)＝a(x－1)，即y－0＝a(x－1)，

即y＝a(x－1)．

令x＝0，得y＝－a；令y＝0，得x＝1，

故切线与坐标轴的交点分别为(0，－a)，(1,0)．

所以切线与坐标轴所围成的三角形的面积为×|－a|×1＝2，解得a＝±4.

(Ⅱ)由f(x)≥1－，得aln x≥1－，即aln x－1＋≥0.

令g(x)＝aln x－1＋，则g(x)≥0恒成立．

因为函数g(x)＝aln x－1＋的定义域为(0，＋∞)，且g′(x)＝－＝，

①当a<0时，ax－1<0，则<0.即g′(x)<0.此时函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，且因为g(1)＝0，

所以当x∈(1，＋∞)，g(x)<0，不满足g(x)≥0恒成立．故舍去．

②当a>0时，令g′(x)<0，得0<x<；

令g′(x)>0，得x>；

所以函数g(x)在(0，)上单调递减，

在(，＋∞)上单调递增．

所以函数g(x)的最小值为g()．

因为g(1)＝0，所以要使g(x)≥0恒成立，则g(1)必定是函数g(x)的最小值．

即＝1，解得a＝1.

综上，实数a的值为1.