Question

已知(

x

+

2

x2

)n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3，求展开式中的常数项．

Answer 1

分析：在展开式的通项中，令x=1得出第5项的系数与第3项的系数表达式，由已知，求出n，再在通项中令x得指数为0，确定常数项．

解答：解：展开式的通项为Tk+1=

C

k n

•(

x

)n-k•(

2

x2

)k=

C

k n

•2k•x

n-5k

2

第5项的系数为

C

4 n

•2⁴，第3项的系数为

C

2 n

•22
由已知，得出

C

4 n

•2⁴：

C

2 n

•22=56：3，解得n=10
所以通项公式Tk+1=

C

k 10

(

x

)10-k(

2

x2

)k=

C

k 10

2kx5-

5

2

k，
当k=2时，取到常数项 即T₃=180．

点评：本题考查二项式定理的应用：求指定的项．牢记公式是基础，方程思想是关键．