Question

已知m>1，直线，椭圆C：，、分别为椭圆C的左、右焦点.

（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程;

（Ⅱ）设直线与椭圆C交于A、B两点，△A、△B的重心分别为G、H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.    （Ⅱ）m的取值范围是（1，2）

【解析】（Ⅰ）利用直线过椭圆的焦点列式，求出参数m即可；（Ⅱ）联立方程，利用韦达定理找出两点坐标的关系，然后利用点在圆内转化关于坐标的不等式，然后求解不等式即可

（Ⅰ）因为直线经过点（，0），所以＝，得.又因为m>1，所以，故直线的方程为.

（Ⅱ）设，由，消去x，得，

则由，知<8,且有

由题意知O为的中点.由可知，

从而，设M是GH的中点，则M（）.

由题意可知，2|MO|<|GH|, 所以<,<0,

而＝（）（）＝，

所以<0,即 又因为m>1且>0,从而1<m<2,故m的取值范围是（1，2）