Question

设△ABC三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且4sin

C

2

cos（

π

3

-

C

2

）=

3

（1）求内角C
（2）若c=

3

，且△ABC的面积为

3

2

，求sinA+sinB的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角形的面积公式

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（1）运用积化和差公式及特殊角的三角函数值，即可得到C；
（2）运用余弦定理以及面积公式和正弦定理，计算即可得到所求值．

解答： 解：（1）4sin

C

2

cos（

π

3

-

C

2

）=

3

即为
sin

π

3

+sin（C-

π

3

）=

3

2

，即sin（C-

π

3

）=0，
由于C为三角形的内角，则C=

π

3

；
（2）△ABC的面积为

3

2

，即有

1

2

absin

π

3

=

3

2

，
即有ab=2，
由余弦定理可得，c²=a²+b²-2abcos

π

3

=a²+b²-2=3，
即a²+b²=5，
解得a=1，b=2或a=2，b=1．
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=2R，
可得sinA+sinB=

a+b

2R

=

3sin π 3

3

=

3

2

．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查积化和差公式，正弦定理和余弦定理以及面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．