Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB中点，E是AC的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．
（1）求异面直线AB与DE所成的角；
（2）若M，N分别为棱AC，BC上的动点，求△DMN周长的平方的最小值；
（3）在三棱锥D-ABC的外接球面上，求A，B两点间的球面距离和外接球体积．

Answer 1

分析：（1）取BC的中点F，连EF，DF，则AB与DE所成角即为EF与DE所成角，根据已知中AD=BD=2

2

，∠ADB=90°，可以判断三角形DEF为正三角形，进而求出异面直线AB与DE所成的角；
（2）以C为顶点将侧面展开，依题意即求DD₁的长，根据∠ACD=∠BCD=45°，AC=BC=AB，结合余弦定理求出DD₁的长，即可得到△DMN周长的平方的最小值；
（3）根据已知条件求出外接球的半径，即可求出A，B两点间的球面距离和外接球体积．

解答：解：（1）取BC的中点F，连EF，DF则AB∥EF，AB与DE所成角即为EF与DE所成角
∵AD=BD=2

2

，∠ADB=90°，∴AB=4∴EF=2
又∵DE=DF=2，∴异面直线AB与DE所成角为60°
（2）如图，以C为顶点的侧面展开图，依题意即求DD₁的长
∵∠ACD=∠BCD=45°，AC=BC=AB，∴∠ACB=60°
∴∠DCD₁=150°，CD=CD₁=2

2

∴D

D

2 1

=(2

2

)2+(2

2

)2-2

2

•2

2

cos150°=16+8

3

（3）∵2R=

3•(2 2 )2

=2

6

，∴R=

6

，V=

4

3

πR3=8

6

π∵AB=4，R=

6

，∴cosθ=

( 6 )2+( 6 )2-42

2• 6 • 6

=-

1

3

∴θ=π-arccos

1

3

，∴A，B两点的球面距离为(π-arccos

1

3

)•

6

点评：本题考查的知识是球的体积，异面直线的夹角，其中（1）的关键是构造异面直线的夹角的平面角，（2）的关键是展开侧面，将空间问题转化为平面问题，（3）的关键是求出外接球的半径．