Question

已知函数f（x）=（m-1）x²-n（x∈[0，1]）的反函数为f^-1（x），且m为函数g（x）=lnx与函数h（x）=的交点个数，n=，则函数y=[f^-1（x）]²+的值域是________．

Answer 1

{0}
分析：先根据题设，求出函数f（x）=（m-1）x²-n（x∈[0，1]）的解析式，进而可求其反函数为f^-1（x），再求函数y=[f^-1（x）]²+的值域．
解答：由题意，当0＜x≤1时，函数g（x）=lnx与函数h（x）=有交点（1，0）
当x＞1时，函数g（x）=lnx与函数h（x）=x²-4x+3有一个交点，
∵m为函数g（x）=lnx与函数h（x）=的交点个数
∴m=2
∵n=，则
==1
∴函数f（x）=（m-1）x²-n（x∈[0，1]）为f（x）=x²-1（x∈[0，1]）
∴f^-1（x）=（x∈[-1，0]）
∴函数y=[f^-1（x）]²+=1+x+
∵x²-1≥0
∴x≥1或x≤-1
∵x∈[-1，0]
∴x=-1
∴y=1-1+0=0
∴函数y=[f^-1（x）]²+的值域是{0}
故答案为{0}
点评：本题以函数为载体，考查反函数，考查图象的交点，考查函数的值域，解题的关键是确定函数的解析式，确定函数的定义域．