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在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,A为锐角,已知向量
p
=(1,
3
cos
A
2
),
q
=(2sin
A
2
,1-cos2A),且
p
q

(1)若a2-c2=b2-mbc,求实数m的值.
(2)若a=
3
,求△ABC面积的最大值.
分析:(1)由向量平行时,向量的坐标对应成比例得到一个关系式,利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简,由sinA不为0,得到sinA的值,又A为锐角,利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值,利用余弦定理表示出cosA,把已知的等式代入即可表示出cosA,由cosA的值列出关于m的方程,求出方程的解即可得到m的值;
(2)由(1)中求出的sinA和cosA的值,根据
b2+c2-a2
2bc
=
1
2
,解出bc,利用基本不等式求出bc的最大值,然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积,把bc的最大值及sinA的值代入即可求出三角形ABC面积的最大值.
解答:解:(1)由
p
q
得:1-2cos2A=2
3
sin
A
2
cos
A
2
,即1-cos2A=
3
sinA

所以2sin2A=
3
sinA

又A为锐角,∴sinA=
3
2
cosA=
1
2
,(3分)
而a2-c2=b2-mbc可以变形为
b2+c2-a2
2bc
=
m
2

cosA=
m
2
=
1
2
,所以m=1;(6分)
(2)由(1)知:cosA=
1
2
sinA=
3
2

b2+c2-a2
2bc
=
1
2

所以bc=b2+c2-a2≥2bc-a2即bc≤a2,(9分)
S△ABC=
1
2
bcsinA≤
1
2
a2
3
2
=
3
3
4

当且仅当b=c=
3
时,△ABC面积的最大值是
3
3
4
.(12分)
点评:此题考查了三角函数的恒等变换,余弦定理及三角形的面积公式,要求学生掌握平面向量的数量积的运算法则,二倍角正弦、余弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及基本不等式.灵活利用基本不等式求出bc的最大值是第二问求三角形面积最大的关键.
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科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c.满足2acosC+ccosA=b.则sinA+sinB的最大值是(  )
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,a<b<c,B=60°,面积为10
3
cm2,周长为20cm,求此三角形的各边长.

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科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知
.
m
=(cos
C
2
,sin
C
2
)
.
n
=(cos
C
2
,-sin
C
2
)
,且
m
n
=
1
2

(1)求角C;
(2)若a+b=
11
2
,△ABC的面积S=
3
3
2
,求边c的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,A,B,C为三个内角,若cotA•cotB>1,则△ABC是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知y=f(x)函数的图象是由y=sinx的图象经过如下三步变换得到的:
①将y=sinx的图象整体向左平移
π
6
个单位;
②将①中的图象的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的
1
2

③将②中的图象的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍.
(1)求f(x)的周期和对称轴;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且f(C)=2,c=1,ab=2
3
,且a>b,求a,b的值.

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