Question

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，C₁O与平面ABCD所成的角为60°．
（1）求三棱锥A₁-BCD的体积；
（2）求异面直线C₁O与CD1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得∠C₁OC=60°，求出CC₁的值，代入三棱锥的体积公式运算求得结果．
（2）解法一：设AD₁与A₁D相交于M，则∠MOC₁就是异面直线C₁O与CD₁所成的角，由余弦定理求得cos∠MOC₁ 的值，
即可求得∠MOC₁的值．
解法二：建立空间直角坐标系，求出

OC

 和

CD1

的坐标，利用两个向量的夹角公式求出

OC

 和

CD1

的夹角，
即可得到异面直线C₁O与CD₁所成的角．

解答：解：（1）∵CC₁⊥ABCD，∴∠C₁OC就是C₁O与平面ABCD所成的角，
  …（2分）
在正△ABD中，AO=

3

=OC，∴CC1=

3

tan60°=3，…（4分）
∴VA-BCD=

1

3

•AA1•S△BCD=

3

，
∴三棱锥A₁-BCD体积为

3

．…（6分）
（2）解法一：设AD₁与A₁D相交于M，
连OM、CD₁，则OM∥CD₁，
∴∠MOC₁就是异面直线C₁O与CD₁所成的角．…（8分）
连C₁M，在△OC₁M中，OC1=2

3

，OM=

1

2

CD1=

13

2

，C1M=

9 4 +4+1+4cos120°

-

37

2

，cos∠MOC1=

12+ 13 4 - 37 4

2×2 3 × 13 2

=

6

2 39

=

39

13

…（12分）
∴∠MOC1=arccos

39

13

，
∴异面直线C₁O与CD₁所成角为 arccos

39

13

．…（14分）
解法二：如图建立空间直角坐标系，则
O（0，0，0），C₁（-

3

，0，3），
∴

OC

=(-

3

，0，3)…（8分）C(-

3

，0，0)，D（0，-1，3），
∴

CD1

=(

3

，-1，3)…（10分）
设异面直线C₁O与CD₁所成的角为θ
∴cosθ=

6

12 • 13

=

39

13

，∴θ=arccos

39

13

∴异面直线C₁O与CD₁所成角为 arrcos

39

13

…（14分）

点评：本题考查球三棱锥的体积，异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角，是解题的关键．