Question

已知实数a、b满足a-2b+3≥0，且使得函数f(x)=

1

3

x3+ax2+bx无极值，则

b+1

a+2

的取值范围为（　　）

• A．[-2

  5

  -4，2

  5

  -4]
• B．[2

  5

  -4，

  13

  14

  ]
• C．[2

  5

  -4，2]
• D．[

  13

  14

  ，2]

Answer 1

分析：先求导数f′（x），根据函数f（x）无极值可得f′（x）=0至多有一实根，从而可得关于a，b的不等式，连同a-2b+3≥0可作出满足条件的点（a，b）构成的区域，

b+1

a+2

的几何意义为两点（a，b），（-2，-1）间连线的斜率，利用线性规划知识即可求得斜率的最大值及最小值．

解答：解：f′（x）=x²+2ax+b，
因为函数f（x）无极值，所以有△=4a²-4b≤0，即a²≤b．
又a-2b+3≥0，则满足条件的点（a，b）构成的区域如下阴影所示：
由

a-2b+3=0 a2=b

解得a=-1或

3

2

，则两交点为（-1，1），（

3

2

，

9

4

），

b+1

a+2

的几何意义为两点（a，b），（-2，-1）间连线的斜率，
则斜率最大值为

1-(-1)

-1-(-2)

=2，
设过点（-2，-1）的切线方程为b+1=k（a+2）①，a²=b②，由①②消b得a²-ka-2k+1=0，则△=k²-4（-2k+1）=0，解得k=-4+2

5

，-4-2

5

（舍），
即斜率的最小值为-4+2

5

．
所以

b+1

a+2

的取值范围为[2

5

-4，2]．
故选C．

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件及线性规划知识，考查学生综合运用知识分析问题的能力，解决本题的关键是对

b+1

a+2

的几何意义的理解及正确转化，本题属中档题．