Question

【题目】已知f（x）=lnx+x2﹣bx．
（1）若函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（2）当b=﹣1时，设g（x）=f（x）﹣2x2 ， 求证函数g（x）只有一个零点．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）在（0，+∞）上递增，

∴f′（x）= +2x﹣b≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，即b≤ +2x对x∈（0，+∞）恒成立，

∴只需b≤（ +2x）min　（x＞0），

∵x＞0，

∴ +2x≥2 ，当且仅当x= 时取“=”，∴b≤2 ，

∴b的取值范围为（﹣∞，2 ]

（2）证明：当b=﹣1时，g（x）=f（x）﹣2x2=lnx﹣x2+x，其定义域是（0，+∞），

∴g′（x）= ﹣2x+1=﹣ ，

令g′（x）=0，∵x＞0，∴x=1，

当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当x＞1时，g′（x）＜0，

∴函数g（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，

∴当x≠1时，g（x）＜g（1），即g（x）＜0，当x=1时，g（x）=0．

∴函数g（x）只有一个零点

【解析】（1）其导函数，利用f（x）在（0，+∞）上递增，可得f′（x）≥0，对x∈（0，+∞）恒成立，分离参数，即可求得b的取值范围；（2）当b=﹣1时，g（x）=f（x）﹣2x2=lnx﹣x2+x，其定义域是（0，+∞），求导函数，确定合适的单调性，利用当x≠1时，g（x）＜g（1），即g（x）＜0，当x=1时，g（x）=0，即可得到结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值的相关知识，掌握极值反映的是函数在某一点附近的大小情况．