Question

已知函数f（x）=log_a（x+1）（a＞1），若函数y=g（x）的图象与函数y=f（x）的图象关于原点对称．
（1）写出函数g（x）的解析式；
（2）求不等式2f（x）+g（x）≥0的解集A；
（3）问是否存在m∈R^*，使不等式f（x）+2g（x）≥log_am的解集恰好是A？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）、设P（x，y）为y=g（x）图象上任意一点，则P关于原点的对称点Q（-x，-y）在y=f（x）的图象上，把Q（-x，-y）代入函数y=log_a（x+1）（a＞1），就能得到函数g（x）的解析式．
（2）、不等式2f（x）+g（x）≥0等价于loga

(1+x)2

1-x

≥0，求出loga

(1+x)2

1-x

≥0的解集即得到集合A．
（3）、先假设存在m∈R^*使命题成立，则由f（x）+2g（x）≥log_am，得log_a（1+x）≥log_a[m（1-x）²]，然后根据不等式1+x≥m（1-x）²的解集与集合A的关系求出m的值．

解答：解：（1）设P（x，y）为y=g（x）图象上任意一点，
则P关于原点的对称点Q（-x，-y）在y=f（x）的图象上，
所以-y=log_a（-x+1），即g（x）=-log_a（1-x）；
（2）由

x+1＞0 1-x＞0

?-1＜x＜1，原不等式可化为loga

(1+x)2

1-x

≥0，
∵a＞1，∴

(1+x)2

1-x

≥1，且-1＜x＜1?0≤x＜1即A=[0，1）．
（3）假设存在m∈R^*使命题成立，则由f（x）+2g（x）≥log_am，
得log_a（1+x）≥log_a[m（1-x）²]
∵a＞1，∴不等式组

-1＜x＜1 m(1-x)2≤1+x

的解集恰为A=[0，1），
只需不等式1+x≥m（1-x）²，即mx²-（2m+1）x+m-1≤0的解集为A=[0，b），且b≥1，
易得m=1即为所求，故存在实数m=1使命题成立．

点评：本题是对数函数的综合题，难度较大．在解题是要注意对称性质的灵活应用和等价命题的合理转化．