Question

如图3，点A是曲线y=3-x²（y＞0）上的一个动点（点A在y轴左侧）以点A为顶点作矩形ABCD，使点B在此曲线上，D，C在x轴上，设|OC|=x，矩形ABCD的面积为S（x）．
（1）写出函数S（x）的解析式，并求出函数的定义域
（2）求当x为何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

解：（1）∵A是曲线y=3-x²（y＞0）上的一个动点
若|OC|=x，即A的横坐标为-x时，A的纵坐标为3-x²，
故矩形ABCD的长和宽分别为2x，3-x²，
∴S（x）=2x（3-x²）
又∵曲线y=3-x²与x正半轴交于（，0）点
故
即函数的定义域为
（2）S（x）=2x（3-x²）=-2x³+6x
∴S′（x）=-6x²+6，
令S′（x）=0，则x=1
∵x∈（0，1）时，S′（x）＞0，
x∈时，S′（x）＜0，
故当x=1时面积最大，最大面积为4
分析：（1）由A是曲线y=3-x²（y＞0）上的一个动点（点A在y轴左侧），可分别求出矩形的长和宽，代入矩形面积公式可得答案，结合B，C点均在Y轴右侧，求出曲线y=3-x²与X轴的交点坐标，可分析出函数的定义域
（2）由（1）中解析式，求出函数S（x）导函数的解析式，利用导数法，分析函数S（x）的单调性后，即可求出最大值．
点评：本题考查的知识点是根据实际问题选择函数类型，利用导数求闭区间上函数的最值，其中分析矩形的长和宽是解答本题的关键．