【题目】在平面直角坐标系中,已知圆经过,,三点,是线段上的动点,,是过点且互相垂直的两条直线,其中交轴于点,交圆于、两点.
(1)若,求直线的方程;
(2)若是使恒成立的最小正整数.
①求的值;
②求三角形的面积的最小值.
【答案】(1)(2)①②
【解析】
(1)确定出圆的圆心坐标,然后考虑直线的斜率是否存在,斜率存在时利用半弦长、半径、圆心到直线的距离构造成的直角三角形求解出直线的方程,注意验证是否符合;
(2) ①根据得到的轨迹应该满足的条件,再将其转化为点到直线距离问题完成求解;
②考虑分类讨论直线的斜率存在与否,并计算或表示出对应的面积,从而确定出面积的最小值.
(1)由题意可知,圆的直径为,
所以圆方程为:.
因为,所以到直线的距离为.
若斜率不存在,则到直线的距离为2,不符合,所以斜率存在;
设方程为:,则,解得,,
当时,直线与轴无交点,不符合,舍去.
所以,此时直线的方程为.
(2)①设,由点在线段上,得,即.
由,得.
依题意知,线段与圆至多有一个公共点,
故,解得或.
因为是使恒成立的最小正整数,所以.
②,圆方程为:,
(i)当直线:时,直线的方程为,此时,;
(ii)当直线的斜率存在时,设的方程为:,
则的方程为:,点.所以,.
又圆心到的距离为,
所以,.
故,取等号时.
又因为,所以三角形面积的最小值为.
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【题目】某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的,按照综合得分的高低进行综合排序,综合排序高者中标.
分值权重表如下:
总分 | 技术 | 商务 | 报价 |
100% | 50% | 10% | 40% |
技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的.报价表则相对灵活,报价标的评分方法是:基准价的基准分是68分,若报价每高于基准价1%,则在基准分的基础上扣0.8分,最低得分48分;若报价每低于基准价1%,则在基准分的基础上加0.8分,最高得分为80分.若报价低于基准价15%以上(不含15%)每再低1%,在80分在基础上扣0.8分.
在某次招标中,若基准价为1000(万元).甲、乙两公司综合得分如下表:
公司 | 技术 | 商务 | 报价 |
甲 | 80分 | 90分 | A甲分 |
乙 | 70分 | 100分 | A乙分 |
甲公司报价为1100(万元),乙公司的报价为800(万元)则甲,乙公司的综合得分,分别是( )
A. 73,75.4B. 73,80C. 74.6,76D. 74.6,75.4
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【题目】已知椭圆的短轴长为,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设椭圆的左,右焦点分别为,左,右顶点分别为,,点,,为椭圆上位于轴上方的两点,且,直线的斜率为,记直线,的斜率分别为,,求的值.
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【题目】定义:对于实数和两定点,在某图形上恰有个不同的点,使得,称该图形满足“度契合”.若边长为4的正方形中,,且该正方形满足“4度契合”,则实数的取值范围是__________.
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【题目】如图①,在等腰梯形中,,,分别为,的中点,,为中点现将四边形沿折起,使平面平面,得到如图②所示的多面体在图②中,
(1)证明:;
(2)求二面角的余弦值。
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,动点到两坐标轴的距离之和等于它到定点的距离,记点P的轨迹为,给出下列四个结论:①关于原点对称;②关于直线对称;③直线与有无数个公共点;④在第一象限内,与x轴和y轴所围成的封闭图形的面积小于.其中正确的结论是________.(写出所有正确结论的序号)
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【题目】某海湿地如图所示,A、B和C、D分别是以点O为中心在东西方向和南北方向设置的四个观测点,它们到点O的距离均为公里,实线PQST是一条观光长廊,其中,PQ段上的任意一点到观测点C的距离比到观测点D的距离都多8公里,QS段上的任意一点到中心点O的距离都相等,ST段上的任意一点到观测点A的距离比到观测点B的距离都多8公里,以O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.
(1)求观光长廊PQST所在的曲线的方程;
(2)在观光长廊的PQ段上,需建一服务站M,使其到观测点A的距离最近,问如何设置服务站M的位置?
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【题目】某公司推出一新款手机,因其功能强大,外观新潮,一上市便受到消费者争相抢购,销量呈上升趋势.散点图是该款手机上市后前6周的销售数据.
(Ⅰ)根据散点图,用最小二乘法求关于的线性回归方程,并预测该款手机第8周的销量;
(Ⅱ)为了分析市场趋势,该公司市场部从前6周的销售数据中随机抽取2周的数据,求抽到的这2周的销量均在20万台以下的概率.
参考公式:回归直线方程,其中:,.
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【题目】已知关于的不等式有且仅有两个正整数解(其中e=2.71828… 为自然对数的底数),则实数的取值范围是( )
A. (,] B. (,] C. [,) D. [,)
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