Question

如图，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆经过点（，），且它的左焦点F₁将长轴分成2∶1，F₂是椭圆的右焦点．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P是椭圆上不同于左右顶点的动点，延长F₁P至Q，使Q、F₂关于∠F₁PF₂的外角平分线l对称，求F₂Q与l的交点M的轨迹方程．

Answer 1

 解：（1）设椭圆的方程为（a>b>0），半焦距为c，则a²-b²=c²，
∵ 椭圆经过点（，），
∴ ．
又∵ 它的左焦点F将长轴分成2∶1，
∴ (a+c)∶(a-c)=2∶1，整理得a=3c．
联立①②③，即 解得a²=36，b²=32，c²=4．
∴ 椭圆的标准方程为．           ……………………4分
（2）∵ Q、F₂关于∠F₁PF₂的外角平分线l对称，
∴ |PQ|=|PF₂|，且M是F₂Q的中点．
由椭圆的定义知|PF₁|+|PF₂|=12，
∴ |PF₁|+|PQ|=12，即|F₁Q|=12，
∴ Q的轨迹是以F₁(-2，0)为圆心，12为半径的圆（除去与x轴的两个交点），其轨迹方程为(x+2)²+y²=144（y≠0）． …………………7分
设M(x，y)，Q(a，b)，由（1）知F₂(2，0)，
∴   可整理得a=2x-2，b=2y，
∵ Q(a，b)在圆(x+2)²+y²=144（y≠0）上运动，
∴ (2x-2+2)²+(2y)²=144，即x²+y²=36．
∴ M的轨迹方程为x²+y²=36（y≠0）．      ……………………10分

略