Question

已知{a_n}是等比数列，如果该数列中有连续三项的积为1，那么该三项的和的取值范围是

1. A.
   （-∞，-1]∪[3，+∞）
2. B.
   [3，+∞）
3. C.
   （-∞，-3]∪[3，+∞）
4. D.
   （-∞，-1]

Answer 1

A
分析：设出此等比数列的连续三项，根据等比数列的性质变形后即可求出中间项的值为1，然后设出公比为q，根据等比数列的性质表示出前一项与后一项，三项相加，分q大于0和q小于0两种情况，分别利用基本不等式即可求出三项和的范围，求出两范围的并集即可得到所求．
解答：设连续三项中间的项为a_n，则前一项为a_n-1，后一项为a_n+1，
∵{a_n}是等比数列，根据题意有a_n-1•a_n•a_n+1=（a_n）³=1，
∴a_n=1，设公比为q，a_n-1=，a_n+1=q，
当q＞0时，a_n-1+a_n+a_n+1=+1+q≥3，当且仅当q=1时取等号，
此时该三项的和的取值范围是[3，+∞）；
当q＜0，即-q＞0时，a_n-1+a_n+a_n+1=+1+q=1-[（-）+（-q）]≤1-2=-1，当且仅当q=-1时取等号，
此时该三项的和的取值范围是（-∞，-1]，
综上，该三项的和的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．
故选A
点评：此题考查了等比数列的性质，以及基本不等式的运用．学生在运用基本不等式a+b≥2 时，注意a与b必须为正数．