Question

【题目】已知函数f（x）=xlnx+ mx2﹣（m+1）x+1．
（1）若g（x）=f'（x），讨论g（x）的单调性；
（2）若f（x）在x=1处取得极小值，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： ．

①m=0时，当x＞0时，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上为增函数；

②m＞0时，当x＞0时，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上为增函数；

③m＜0时，令 g'（x）=0，得 ，所以当 时，g'（x）＞0；

当 时，g'（x）＜0，所以g（x）在 上单调递增，在 上单调递减，

综上所述，m≥0时，g（x）在（0，+∞）上为增函数；

m＜0时，g（x）在 上单调递增，在 上单调递减

（2）解：f'（x）=lnx+m（x﹣1），

当m≥0时，f'（x）单调递增，恒满足f'（1）=0，且在x=1处单调递增，

当m＜0时，f'（x）在 单调递增，故 ，即﹣1＜m＜0；

综上所述，m取值范围为（﹣1，+∞）

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，通过讨论m的范围，判断是否满足f'（1）=0，从而求出m的范围即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．