Question

若点O和点F分别为椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则

OP

•

FP

的最大值为

6

．

Answer 1

分析：设P（x，y），由数量积运算及点P在椭圆上可把

OP

•

FP

表示为x的二次函数，根据二次函数性质可求其最大值．

解答：解：设P（x，y），
则

OP

•

FP

=（x，y）•（x+1，y）=x²+x+y²，
又点P在椭圆上，故

x2

4

+

y2

3

=1，
所以x²+x+（3-

3

4

x2）=

1

4

x2+x+3=

1

4

(x+2)2+2，
又-2≤x≤2，
所以当x=2时，

1

4

(x+2)2+2取得最大值为6，即

OP

•

FP

的最大值为6，
故答案为：6．

点评：本题考查平面向量的数量积运算、椭圆的简单性质，属中档题．