Question

【题目】设数列{an}，a1=1，an+1= + ，数列{bn}，bn=2n﹣1an ．
（1）求证：数列{bn}为等差数列，并求出{bn}的通项公式；
（2）数列{an}的前n项和为Sn ， 求Sn；
（3）正数数列{dn}满足 = ．设数列{dn}的前n项和为Dn ， 求不超过D100的最大整数的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由 ，得 ．

又 ，

所以bn+1=bn+1，

又b1=a1=1，

所以数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列．bn=n

（2）解：∵

所以 ①，

，②

由①﹣②，

得

所以 ．

（3）解：

，

所以 ，

所以，不超过D100的最大整数为100

【解析】（1）由等差数列的定义和数列的递推公式即可证明，（2）根据错位相减法即可求出数列{an}的前n项和为Sn ， （3）利用裂项求和，即可求出不超过D100的最大整数的值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等差数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握通项公式：或；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．