Question

3．已知{a_n}，{b_n}为两个数列，其中{a_n}是等差数列且前n项和为S_n又a₃=6，a₉=18．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-3）S_n，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式列方程解出{a_n}的首项和公差，从而得出通项a_n；
（2）先计算S_n，令n=1计算b₁，再令n≥2，作差得出b_n即可．

解答 解：（1）设{a_n}的公差为d，∵a₃=6，a₉=18
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=6}\\{{a}_{1}+8d=18}\end{array}\right.$，解得a₁=2，d=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）S_n=$\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{2}•n$=n²+n，
当n=1时，a₁b₁=-S₁=-a₁，∴b₁=-1．
当n≥2时，
∵a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（2n-3）S_n=n（n+1）（2n-3），
∴a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=（2n-5）S_n-1=n（n-1）（2n-5），
∴a_nb_n=n（n+1）（2n-3）-n（n-1）（2n-5）=2n（3n-4），
∴b_n=$\frac{2n（3n-4）}{{a}_{n}}$=3n-4，
显然当n=1时，上式仍成立，
∴b_n=3n-4．

点评 本题考查了等差数列的性质，数列通项的求法，属于中档题．