Question

（2012•许昌县一模）如图，四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ASCD．设AB=2．
（I）证明：AB⊥平面VAD；
（II）若E是VA上的动点，当面DCE⊥面VAB时，求三棱锥V-ECD的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知中平面VAD⊥底面ABCD，ABCD是正方形，我们根据正方形的性质及面面垂直的性质定理，得到AB⊥平面VAD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知AB⊥平面VAD，说明平面VAD⊥平面ECD．当E是VA的中点时，证明面DCE⊥面VAB，利用三棱锥V-ECD的体积等于三棱锥C-EVD的体积，求解即可．

解答：（Ⅰ）证明：平面VAD⊥平面ABCD，底面是正方形，∴AB⊥AD，
AB?平面ABCD，
平面VAD∩平面ABCD=AD，
∴AB⊥面VAD．4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知AB⊥平面VAD，
∴CD⊥平面VAD．
∴平面VAD⊥平面ECD．
又∵△VAD是正三角形，
∴当E是VA的中点时，ED⊥VA．
∴VA⊥平面EDC．
∴面DCE⊥面VAB
三棱锥V-ECD的体积等于三棱锥C-EVD的体积，
VC-VED=

1

3

•S△VED•DC=

1

3

×

1

2

×

3

×1×2=

3

3

．12分

点评：本题考查直线与平面垂直，几何体的体积的求法，考查计算能力，转化思想．