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a、b是常数,关于x的一元二次方程x2+(a+b)x+3+
ab2
=0
有实数解记为事件A.
(1)若a、b分别表示投掷两枚均匀骰子出现的点数,求P(A);
(2)若a∈R、b∈R,-6≤a≤6且-6≤b≤6,求P(A).
分析:(1)先求出数对(a,b)的个数,再由方程有根,必有△≥0,由此关系计数得出符合的数对(a,b)的个数,再由公式求出概率.
(2)此题是一个几何概率模型,先求出区域D={(a,b)|-6≤a≤6,-6≤b≤6}的面积,再求出程有实根对应区域为d={(a,b)|-6≤a≤6,-6≤b≤6,a2+b2≥12}与区域D的公共部分的面积,再有概率公式求出概率.
解答:解:(1)方程有实数解,(a+b)2-4(3+
ab
2
)≥0,
即a2+b2≥12…(1分)
依题意,a=1、2、3、4、5、6,b=1、2、3、4、5、6,
所以,“投掷两枚均匀骰子出现的点数”共有6×6=36种结果…(2分)
当且仅当“a=1且b=1、2、3”,或“a=2且b=1、2”,
或“a=3且b=1”时,a2+b2≥12不成立…(5分),
所以满足a2+b2≥12的结果有36-(3+2+1)=30种…(6分),
从而P(A)=
30
36
=
5
6
…(7分).
(2)在平面直角坐标系aOb中,直线a=±6与b=±6围成一个正方形…(8分)
正方形边长即直线a=±6与b=±6之间的距离为d=12…(9分)
正方形的面积S=d2=144…(10分),
圆a2+b2=12的面积为S′=12π…(11分)
圆在正方形内部…(12分),
所以P(A)=
S-S′
S
=
144-12π
144
=
12-π
12
…(13分)
点评:本题考查等可能事件的概率,解题的关键是理解题意,得出(1)是一个古典概率模型问题,(2)中是一个几何概率模型,由相应的公式计算出概率
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ab
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