Question

设函数f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）．
（1）若a=1时函数f（x）有三个互不相同的零点，求m的取值范围；
（2）若函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a=1时，f（x）=x³+x²-x+m，
∵f（x）有三个互不相同的零点，
∴f（x）=x³+x²-x+m=0，即m=-x³-x²+x有三个互不相同的实数根．
令g（x）=-x³-x²+x，则g′（x）=-（3x-1）（x+1）
令g′（x）＞0，可得-1＜x＜；令g′（x）＜0，可得x＜-1或x＞，
∴g（x）在（-∞，-1）和（，+∞）上为减函数，在（-1，）上为增函数，
∴g（x）_极小=g（-1）=-1，g（x）_极大=g（）=
∴m的取值范围是（-1，） …（6分）
（2）由题设可知，方程f′（x）=3x2+2ax-a2=0在[-1，1]上没有实数根，
∴，解得a＞3 …（12分）
分析：（1）当a=1时，f（x）=x³+x²-x+m，f（x）有三个互不相同的零点，即m=-x³-x²+x有三个互不相同的实数根，构造函数确定函数的单调性，可得函数的极值，从而可得m的取值范围；
（2）要使函数f（x）在x∈[-1，1]内没有极值点，只需f′（x）=0在（-1，1）上没有实根即可．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性，还考查了变量分离的思想方法，属于中档题．