Question

（08年新建二中二模）如图,在四棱锥中,平面平面,,,是的中点.  

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求与平面所成角的正切值；

(Ⅲ)求二面角的大小.

Answer 1

解析： 解：(Ⅰ)如图,取中点,连结、.∵是的中点,

        ∴且.又∵, ,

        ∴且.∴四边形是平行四边形,故得.

         又∵平面,平面,∴平面.

    (Ⅱ)取中点,连结,,∵,∴.∵平面平面, ∴平面.∴是在平面内的射影,∴是与平面所成的角.由已知,∴四边形是直角梯形,. 设,则BD=,在中,易得,∴, .又∵,∴是等腰直角三角形,.

       ∴.

∴在中,.

    (Ⅲ)在平面内过点作的垂线交于于点,连结,则是在平面 内的射影,故,∴是二面角的平面角,由,,

 又,∴.在中,.

        ∴二面角的大小为.

解：(Ⅰ)同解.

   (Ⅱ)设,同解中的(Ⅱ)可得.如图,以点为原

     点,所在直线为轴, 所在直线为轴,过点且垂直于

         平面的直线与轴建立空间直角坐标系..

         则,P,则.

         平面的一个法向量为,

∴.可得与平面所成角的正弦值为,∴与平面所成角的正切值为.

   (Ⅲ)易知,则.设平面的一个法向量,

       则.令,可得.∴,故二面角的大小为.