Question

已知命题P：函数y=loga

x+2

x-1

在（1，+∞）内单调递增；命题Q：不等式（a-3）x²+（2a-6）x-5＜0对任意实数x恒成立，
若P∨Q是真命题，P∧Q是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先求出命题P，Q为真命题时，a的范围，将已知条件P∨Q是真命题，P∧Q是假命题转化为P，Q有一个真命题一个假命题，分p真Q假与Q真P假两类求出a的范围．

解答：解∵命题P为真命题，即
函数y=loga

x+2

x-1

在定义域上单调递增；
∴0＜a＜（5分）
若命题Q为真命题，
不等式（a-3）x²+（2a-6）x-5＜0对任意实数x恒成立；
当a-3=0时，不等式为-5＜0满足题意，
当a≠0时，令a-3＜0且△=（2a-6）²+20（a-3）＜0
解得-2＜a≤3（10分）
∵P∨Q是真命题且P∧Q是假命题，
∴P，Q有一个真命题一个假命题，
当p真Q假时，有

0＜a＜1 a≤-2或a＞3

无解
当Q真P假时，有

a≤0或a≥1 -2＜a≤3

解得-2＜a≤0或1≤a≤3． 
∴a的取值范围是-2＜a≤0或1≤a≤3．                            （14分）

点评：解决复合命题的真假问题，应该根据真值表转化为构成复合命题的简单命题的真假问题来解决．