Question

6．已知函数f（x）=x²+ax+2，
（1）若对于任意的实数x都有f（1+x）=f（1-x）成立．通过计算，求实数a的值；
（2）若a=-1，问x取何值时，使得f（log₂x）＞f（1），且log₂f（x）＜f（1）成立．

Answer 1

分析 （1）先判断出函数f（x）的对称轴是x=-$\frac{a}{2}$=1，从而求出a的值即可；（2）将a=-1代入f（x）的表达式，从而求出关于满足条件的x的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）∵?x∈R，都有f（1+x）=f（1-x），
则函数f（x）的对称轴是x=-$\frac{a}{2}$=1，解得：a=-2；
（2）a=-1时：f（x）=x²-x+2，
若f（log₂x）＞f（1），
则${{（log}_{2}^{x}）}^{2}$-${log}_{2}^{x}$+2＞2，
解得：x＞2或0＜x＜1，①
由log₂f（x）＜f（1），
得：${log}_{2}^{{x}^{2}-x+2}$＜2，
即：0＜x²-x+2＜4，解得：1＜x＜2，②，
由①②得：不存在满足条件的实数x．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查考查对数函数的性质，是一道中档题．