Question

【题目】已知圆C的半径为1，圆心C（a，2a﹣4），（其中a＞0），点O（0，0），A（0，3）
（1）若圆C关于直线x﹣y﹣3=0对称，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点P，使|PA|=|2PO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题设知，圆心C（a，2a﹣4）在直x﹣y﹣3=0上，解得点C（1，﹣2）

所以 圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=1

①若切线的斜率不存在，则切线方程x=0，符合题意

②若切线斜率存在，设切线的方程为y﹣3=k（x﹣0），即kx﹣y+3=0．

由题意知，圆心C（1，﹣2）到切线kx﹣y+3=0的距离等于半径1，

即： 解之得 ，所以切线方程为12x+5y﹣15=0

综上所述，所求切线的方程是x=0或 12x+5y﹣15=0

（2）解：∵圆心C（a，2a﹣4），半径为1，所以圆C的方程为（x﹣a）2+（y﹣2a+4）2=1．

设点P（x0，y0），因为|PA|=2|PO|∴

化简得 ，又因为

所以点P既在以D（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆上．

又在圆C上，即圆C与圆D有公共点P

则1≤CD≤3即

∴

由5a2﹣12a≤0，且a＞0得

由5a2﹣12a+8≥0，得a∈R；

所以圆心C的横坐标a的取值范围为

【解析】（1）先求出圆心坐标，可得圆的方程，再设出切线方程，利用点到直线的距离公式，即可求得切线方程；（2）设出点C，P的坐标，利用|PA|=|2PO|，寻找坐标之间的关系，进一步将问题转化为圆与圆的位置关系，即可得出结论．