Question

（本题满分12分）设是以为焦点的抛物线，是以直线与为渐近线，以为一个焦点的双曲线．
 
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若与在第一象限内有两个公共点和，求的取值范围，并求的最大值；（3）若的面积满足 ,求的值．

Answer 1

（1）；（2）9；（3）.

(1)在设双曲线方程时要注意焦点位置，本小题的双曲线的焦点在y轴上，然后根据渐近线方程和c值，可得,再结合,可解出a,b值，从而确定出双曲线的标准方程.
(2)本小题涉及到直线与双曲线的位置关系，因而直线方程与双曲线方程联立借助韦达定理解决是基本的解题思路.
（3）在（2）的基础上可根据建立关于p的方程，求出p值.
解：（1）设双曲线的标准方程为：则据题得：
又双曲线的标准方程为 …………3分
（2）将代入到中并整理得：
设则
                                      ………………6分
又

当且仅当时的最大值为9            ………………8分
（3）直线的方程为：即
到直线的距离为：
 
                           ………………10分
又

                                         ………………12分