Question

如图，在矩形ABCD内，两个圆M、N分别与矩形两边相切，且两圆互相外切．若矩形的长和宽分别为9和8，试把两个圆的面积之和S表示为圆M半径x的函数关系式，并求S的最大值和最小值．

Answer 1

分析：由图形利用勾股定理建立两圆半径的关系式，利用面积公式得到面积关于关于圆M半径x的函数，利用二次函数在某个区间上的最值的求法来求得最值．

解答：解：设圆N的半径为r，
过点M，N分别作矩形两边的平行线，易知：[9-（x+r）]²+[8-（x+r）]²=（x+r）²，
解得：x+r=5或x+r=29（舍）
因而S=πx²+πr²=π（2x²-10x+25）．
又

2x≤8 2r≤8 r=5-x

，则1≤x≤4，
易知：当x=

5

2

时，Smin=

25

2

π；
当x=1或x=4时，S_max=17π．
故Smin=

25

2

π，S_max=17π．

点评：考查几何图形的位置关系转换为函数的能力与一元二次函数求最值的方法．