Question

设k∈R，函数f（x）=e^x-（1+x+kx²）（x＞0）．
（Ⅰ）若k=1，试求函数f（x）的导函数f'（x）的极小值；
（Ⅱ）若对任意的t＞0，存在s＞0，使得当x∈（0，s）时，都有f（x）＜tx²，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）当k=1时，函数f（x）=e^x-（1+x+x²）（x＞0），
则f（x）的导数f'（x）=e^x-（1+2x），f'（x）的导数f''（x）=e^x-2．…（2分）
令f''（x）=e^x-2=0，可得x=ln2，
当0＜x＜ln2时，f''（x）＜0；当x＞ln2时，f''（x）＞0，
从而f'（x）在（0，ln2）内递减，在（ln2，+∞）内递增．…（4分）
故导数f'（x）的极小值为f'（ln2）=1-2ln2…（6分）
（Ⅱ）解法1：对任意的t＞0，记函数（x＞0），
根据题意，存在s＞0，使得当x∈（0，s）时，F_t（x）＜0．
则F_t（x）的导数，F'_t（x）的导数…（9分）
①若，因在（0，s）上递增，故当x∈（0，s）时，＞≥0，
于是F'_t（x）在（0，s）上递增，则当x∈（0，s）时，F'_t（x）＞F'_t（0）=0，从而F_t（x）在（0，s）上递增，故当x∈（0，s）时，F_t（x）＞F_t（0）=0，与已知矛盾 …（11分）
②若，注意到在[0，s）上连续且递增，故存在s＞0，使得当x∈（0，s），从而F'_t（x）在（0，s）上递减，于是当x∈（0，s）时，F'_t（x）＜F'_t（0）=0，
因此F_t（x）在（0，s）上递减，故当x∈（0，s）时，F_t（x）＜F_t（0）=0，满足已知条件…（13分）
综上所述，对任意的t＞0，都有，即1-2（k+t）＜0，亦即，
再由t的任意性，得，经检验不满足条件，所以…（15分）
解法2：由题意知，对任意的t＞0，存在s＞0，使得当x∈（0，s）时，都有成立，即成立，则存在s＞0，使得当x∈（0，s）时，f（x）≤0成立，
又f（0）=0，则存在s₀＞0，使得当x∈（0，s₀）时，f（x）为减函数，即当x∈（0，s₀）时使f'（x）=e^x-1-2kx≤0成立，
又f'（0）=0，故存在s₀＞s＞0，使得当x∈（0，s）时f'（x）为减函数，
则当x∈（0，s）时f^′′（x）≤0成立，即e^x-2k≤0，得．
分析：（Ⅰ）先求f（x）的导数，再求f'（x）的导数，从而确定f'（x）的单调性，由此可求导数f'（x）的极小值；
（Ⅱ）解法1：对任意的t＞0，记函数（x＞0），分类讨论，确定函数F'_t（x）在（0，s）上的单调性，从而可得F_t（x）在（0，s）上的单调性，由此可求实数k的取值范围；
解法2：分离参数可得成立，即成立，则存在s＞0，使得当x∈（0，s）时，f（x）≤0成立，求导函数，可得当x∈（0，s）时，f^′′（x）≤0成立，由此可求实数k的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，求导数，确定函数的单调性是关键．