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已知离心率为 $数学公式$ 的椭圆C： $数学公式$ 过点 $数学公式$ ，O为坐标原点
（1）求椭圆方程
（2）已知直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，若直线l是圆O： $数学公式$ 的一条切线，求证： $数学公式$ ．

解：（1）由题意可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴a²=2b²，故椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ，把点M的坐标代入可得b²=4，a²=8，故椭圆方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 x= $\text{[math]}$ ，代入椭圆的方程可得A（ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），
B（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），显然AOB为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y=kx+b，由切线的性质可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，3b²=8+8k² ①，
把直线l的方程代入椭圆的方程化简可得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-8=0．
∴x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ ，故OA 和OB的斜率之积等于
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，又由①得 8k²=3b²-8，
故OA 和OB的斜率之积等于 $\text{[math]}$ =-1，∴OA⊥OB，∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由离心率可得a²=2b²，故椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ，把点M的坐标代入可得b²的值，从而得到椭圆方程．
（2）当直线l的斜率不存在时，经检验可得三角形AOB为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ．当斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+b，由切线的性质可得3b²=8+8k² ①，把直线l的方程代入椭圆的方程化简利用根与系数的关系，计算OA和OB的斜率之积等于-1，从而得到 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查求椭圆的标准方程，直线和椭圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，
证明OA 和OB的斜率之积等于-1，是解题的难点和关键．

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