Question

12．已知直线x+y=a与圆x²+y²=4相交于A，B两点，且$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（2，2），其中O为坐标原点，则实数a的值为±2．

Answer 1

分析 利用$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（2，2），可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．联立直线x+y=a与圆x²+y²=4，化为2x²-2ax+a²-4=0．△＞0．得到根与系数的关系，利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，可得x₁x₂+y₁y₂=0，代入计算即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（2，2），
∴$\overrightarrow{OA}$²+$\overrightarrow{OB}$²+2$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=8，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立直线x+y=a与圆x²+y²=4，化为2x²-2ax+a²-4=0．
△=4a²-8（a²-4）=4（8-a²）＞0．（*）．
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}-4}{2}$．
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（a-x₁）（a-x₂）=2x₁x₂-a（x₁+x₂）+a²=0，
∴a²-4-a²+a²=0，
解得a=±2，满足（*）．
故答案为：±2．

点评 本题考查了直线与圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．