Question

14．已知函数f（x）=ax²-4x-8
（1）若$a=\frac{1}{2}$，求函数f（x）在[2，5]上的值域．
（2）若函数f（x）在[2，5]上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当$a=\frac{1}{2}$时，配方法化简f（x）=$\frac{1}{2}$x²-4x-8=$\frac{1}{2}$（x-4）²-16，从而求值域；
（2）分a=0与a≠0讨论，从而根据二次函数的性质判断函数的单调性即可．

解答 解：（1）当$a=\frac{1}{2}$时，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-4x-8=$\frac{1}{2}$（x-4）²-16，
∵x∈[2，5]，
∴-16≤$\frac{1}{2}$（x-4）²-16≤-14，
故函数f（x）在[2，5]上的值域为[-16，-14]；
（2）若a=0，则f（x）=-4x-8在[2，5]上单调递减，符合题意；
若a≠0，则f（x）=a（x-$\frac{2}{a}$）²-8-$\frac{4}{a}$，其对称轴是x=$\frac{2}{a}$；
若a＜0，则x=$\frac{2}{a}$＜0，
所以f（x）在[2，5]上单调递减，符合题意；
若a＞0，则x=$\frac{2}{a}$＞0，
要使f（x）在[2，5]上是单调函数，
则$\frac{2}{a}$≤2或$\frac{2}{a}$≥5；
所以a≥1或0＜a≤$\frac{2}{5}$；
综上：实数a的取值范围是：a≥1或a≤$\frac{2}{5}$．

点评 本题考查了二次函数的性质的判断与应用．