现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是
的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为
；类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ．
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：填空题
1955年，印度数学家卡普耶卡（D.R.Kaprekar）研究了对四位自然数的一种交换：任给出四位数
，用的四个数字由大到小重新排列成一个四位数m，再减去它的反序数n(即将的四个数字由小到大排列，规定反序后若左边数字有0，则将0去掉运算，比如0001，计算时按1计算)，得出数
，然后继续对
重复上述变换，得数
，…，如此进行下去，卡普耶卡发现，无论是多大的四位数，只要四个数字不全相同，最多进行k次上述变换，就会出现变换前后相同的四位数t(这个数称为Kaprekar变换的核).通过研究10进制四位数2014可得Kaprekar变换的核为 .
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科目：高中数学 来源： 题型：填空题
若等差数列
的首项为
公差为
，前
项的和为
，则数列
为等差数列，且通项为
．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列
的首项为
，公比为
，前项的积为
，则 ．
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，
可被
整除，那么
中至少有一个能被
,
,
,
, ,由此你猜想出第n个数为 
为“梯形数”．根据图形的构成,判断数列的第
项
______________;
条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，当
时把平面分成的区域数记为
,则
时
.
＋
＋…＋
>
的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是________．