Question

【题目】已知函数 ，其反函数为y=g（x）．
（1）若g（mx2+2x+1）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数y=[f（x）]2﹣2af（x）+3的最小值h（a）；
（3）是否存在实数m＞n＞2，使得函数y=h（x）的定义域为[n，m]，值域为[n2 ， m2]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函数 ，可得其反函数为y= ，

因为 定义域为R，

即有mx2+2x+1＞0恒成立，

所以 ，

解得m∈（1，+∞）；

（2）解：令 ，

即有y=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，

当a＞2，区间[ ，2]为减区间，t=2时，ymin=7﹣4a；

当 ≤a≤2，t=a时，ymin=3﹣a2；

当a＜ ，区间[ ，2]为增区间，t= 时，ymin= ﹣a．

则 ；

（3）解：h（x）=7﹣4x，x∈（2，+∞），且h（x）在x∈（2，+∞）上单调递减．

所以 ，两式相减得，

m+n=4，与m＞n＞2矛盾，

所以不存在m，n满足条件

【解析】（1）求得g（x）= ，由定义域为R，可得mx2+2x+1＞0恒成立，即有m＞0，判别式小于0，解不等式即可得到所求范围；（2）令 ，即有y=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2 ， 讨论对称轴和区间的关系，运用单调性，即可得到所求最小值；（3）h（x）=7﹣4x，x∈（2，+∞），且h（x）在x∈（2，+∞）上单调递减，可得h（n）=m2 ， h（m）=n2 ， 两式相减，即可判断．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最值及其几何意义的相关知识，掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．