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【题目】是数列1,…,的各项和,.

1)设,证明:内有且只有一个零点;

2)当时,设存在一个与上述数列的首项、项数、末项都相同的等差数列,其各项和为,比较的大小,并说明理由;

3)给出由公式推导出公式的一种方法如下:在公式中两边求导得:,所以成立,请类比该方法,利用上述数列的末项的二项展开式证明:(其中表示组合数)

【答案】1)证明见解析;(2,理由见解析;(3)证明见解析.

【解析】

1)依题意可得,求出导函数说明其单调性,再由等比数列前项和得,又

2)由题意,,设,然后利用导数研究其单调性即可得证;

3

由二项展开式得

两边求导:

再令,代入可证;

解:(1

由于,故

因此单调递增,

所以内有且只有一个零点.

2)由题意,.

.

时,

时,

此时

所以单调递增,

时,

所以单调递减,.

综上,时,

时,.

3)数列的末项为

由二项展开式得

两边求导:

,得

两边乘以,得

.

练习册系列答案
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