Question

5．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²-（2a+1）x．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，试讨论函数g（x）的单调性；
（Ⅲ）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），证明：$\frac{1}{{x}_{2}}$＜k＜$\frac{1}{{x}_{1}}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用导数的几何意义即可求解；
（Ⅱ）先求函数导数，再讨论参数范围确定导数符号即可．
（Ⅲ）由条件得到不等关系，再进行整体换元转化为一元不等式的证明问题．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，g（x）=lnx+x²-3x，x＞0，
∴g′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-3，
∴g′（1）=0，又g（1）=-2，
∴曲线在x=1处的切线方程为y=-2．
（Ⅱ）∵g′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-（2a+1）=$\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$=$\frac{2a（x-\frac{1}{2a}）（x-1）}{x}$（x＞0）
∴①当$\frac{1}{2a}$＜1，即a＞$\frac{1}{2}$时，令g'（x）＞0得，0＜x＜$\frac{1}{2a}$或x＞1；
令g'（x）＜0得，$\frac{1}{2a}$＜x＜1．
所以，增区间为（0，$\frac{1}{2a}$），（1，+∞）；减区间为（ $\frac{1}{2a}$，1）；
②当$\frac{1}{2a}$＞1，即0＜a＜$\frac{1}{2}$时，令g'（x）＞0得，0＜x＜1或x＞$\frac{1}{2a}$；
令g'（x）＜0得，$\frac{1}{2a}$＜x＜1．
所以，增区间为（0，1），（ $\frac{1}{2a}$，+∞）；减区间为（$\frac{1}{2a}$，1）；
③当$\frac{1}{2a}$=1，即a=$\frac{1}{2}$时，g′（x）=$\frac{{（x-1）}^{2}}{x}$＞0，增区间为（0，+∞）．
综上，当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，增区间为（0，1），（$\frac{1}{2a}$，+∞）；减区间为（1，$\frac{1}{2a}$）；
当a=$\frac{1}{2}$时，增区间为（0，+∞）；
当a＞$\frac{1}{2}$时，增区间为（0，$\frac{1}{2a}$），（1，+∞）；减区间为（$\frac{1}{2a}$，1）．
（3）依题，k=$\frac{{{y}_{2}-y}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$=$\frac{l{nx}_{2}-l{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$，要证$\frac{1}{{x}_{2}}$＜k＜$\frac{1}{{x}_{1}}$，
即证$\frac{1}{{x}_{2}}$＜$\frac{l{nx}_{2}-l{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$＜$\frac{1}{{x}_{1}}$，
因x₂-x₁＞0，即证$\frac{{{x}_{2}-x}_{1}}{{x}_{2}}$＜ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜$\frac{{{x}_{2}-x}_{1}}{{x}_{1}}$，
令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t（t＞1），即证1-$\frac{1}{t}$＜lnt＜t-1（t＞1），…（12分）
令h（t）=lnt+$\frac{1}{t}$-1（t＞1）则h′（t）=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$＞0，
∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴h（t）＞h（1）=0，即lnt＞1-$\frac{1}{t}$（t＞1）①
同理可证：lnt＜t-1②
综①②得1-$\frac{1}{t}$＜lnt＜t-1（t＞1），即$\frac{1}{{x}_{2}}$＜k＜$\frac{1}{{x}_{1}}$．

点评 本题考查了导数的几何意义和导数在函数中的运用．考查了逻辑思维和运算能力以及转化的思想方法．属于难题．