【题目】某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量(单位:千克)与销售价格(单位:元/千克)满足关系式,其中为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品13千克.
(1)求的值;
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大,并求出最大利润.
【答案】(1)6(2)x=4,46
【解析】
(1)由f(5)=13代入函数的解析式,解关于a的方程,可得a值;
(2)商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润,可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数,再用求导数的方法讨论函数的单调性,得出函数的极大值点,从而得出最大值对应的x值.
解:(1)因为x=5时,y=13,所以10=13,故a=6,
(2)由(Ⅰ)可知,该商品每日的销售量y
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
从而,f′(x)=10[(x﹣6)2+2(x﹣3)(x﹣6)]=30(x﹣6)(x﹣4)
于是,当x变化时,f(x)、f′(x)的变化情况如下表:
x | (3,4) | 4 | (4,6) |
f'(x) | + | 0 | ﹣ |
f(x) | 单调递增 | 极大值46 | 单调递减 |
由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.
所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于46
答:当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
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【题目】已知f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),又当x2>x1>0时,f(x2)>f(x1).
(1)求f(1)、f(4)、f(8)的值;
(2)若有f(x)+f(x-2)≤3成立,求x的取值范围.
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【题目】火车站有某公司待运的甲种货物,乙种货物,现计划用A,B两种型号的货厢共50节运送这批货物,已知35t甲种货物和15乙种货物可装满一节A型货厢,25t甲种货物和35乙种货物可装满一节B型货厢,据此安排A,B两种货厢的节数,共有几种方案?若每节A型货厢的运费是0.5万元,每节B型货用的运费是0.8万元,哪种方案的运费较少?
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【题目】己知某区甲、乙、丙三所学校的教师志愿者人数分别为240,160,80.为助力疫情防控,现采用分层抽样的方法,从这三所学校的教师志愿者中抽取6名教师,参与“抗击疫情·你我同行”下卡口执勤值守专项行动.
(Ⅰ)求应从甲、乙、丙三所学校的教师志愿者中分别抽取的人数;
(Ⅱ)设抽出的6名教师志愿者分别记为,,,,,,现从中随机抽取2名教师志愿者承担测试体温工作.
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii)设为事件“抽取的2名教师志愿者来自同一所学校”,求事件发生的概率.
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【题目】已知函数.
(1)若,求函数的极小值;
(2)设函数,试问:在定义域内是否存在三个不同的自变量使得的值相等,若存在,请求出的范围,若不存在,请说明理由?
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【题目】抛掷一个质地均匀的骰子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“不小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A或事件B至少有一个发生的概率为( )
A.B.C.D.
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【题目】已知抛物线的焦点为,直线与轴相交于点,与曲线相交于点,且
(1)求抛物线的方程;
(2)过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,过分别作抛物线的切线,两切线交于点,求证点的纵坐标为定值.
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