【题目】在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若= + ,则+的最大值为__________.
【答案】
【解析】分析:如图:以A为原点,以AB,AD所在的直线为x,y轴建立如图所示的坐标系,先求出圆的标准方程,再设点P的坐标为(cosθ+1,sinθ+2),根据=λ+μ,求出λ,μ,根据三角函数的性质即可求出最值.
详解:如图:以A为原点,以AB,AD所在的直线为x,y轴建立如图所示的坐标系,
则A(0,0),B(1,0),D(0,2),C(1,2),
∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上,
设圆的半径为r,
∵BC=2,CD=1,
∴BD==
∴BCCD=BDr,
∴r=,
∴圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2=,
设点P的坐标为(cosθ+1,sinθ+2),
∵=λ+μ,
∴(cosθ+1,sinθ+2)=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),
∴cosθ+1=λ,sinθ+2=2μ,
∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin(θ+φ)+2,其中tanφ=2,
∵﹣1≤sin(θ+φ)≤1,
∴1≤λ+μ≤3,
故λ+μ的最大值为3,
故答案为:3.
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【题目】已知点A(1,2),过点P(5,﹣2)的直线与抛物线y2=4x相交于B,C两点,则△ABC是( )
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.锐角三角形
D.不能确定
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【题目】为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力,某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全逃生能力竞赛.该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,预赛为笔试,决赛为技能比赛.先将所有参赛选手参加笔试的成绩(得分均为整数,满分为100分)进行统计,制成如下频率分布表.
分数(分数段) | 频数(人数) | 频率 |
[60,70) | 9 | x |
[70,80) | y | 0.38 |
[80,90) | 16 | 0.32 |
[90,100) | z | s |
合计 | p | 1 |
(Ⅰ)求出上表中的x,y,z,s,p的值;
(Ⅱ)按规定,预赛成绩不低于90分的选手参加决赛,参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序.已知高一二班有甲、乙两名同学取得决赛资格.
①求决赛出场的顺序中,甲不在第一位、乙不在最后一位的概率;
②记高一二班在决赛中进入前三名的人数为X,求X的分布列和数学期望.
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【题目】下列判断错误的是
A. 若随机变量服从正态分布,则;
B. 若组数据的散点都在上,则相关系数;
C. 若随机变量服从二项分布: , 则;
D. 是的充分不必要条件;
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【题目】已知点A(0,﹣1)是抛物线C:x2=2py(p>0)准线上的一点,点F是抛物线C的焦点,点P在抛物线C上且满足|PF|=m|PA|,当m取最小值时,点P恰好在以原点为中心,F为焦点的双曲线上,则此双曲线的离心率为( )
A.
B.
C. +1
D. +1
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【题目】已知数列的前项和为,满足,.数列满足,,且.
(1)求数列和的通项公式;
(2)若,数列的前项和为,对任意的,都有,求实数的取值范围;
(3)是否存在正整数,,使,,()成等差数列,若存在,求出所有满足条件的,,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, )中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.
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【题目】在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且2cosAcosC(tanAtanC﹣1)=1.
(Ⅰ)求B的大小;
(Ⅱ)若 , ,求△ABC的面积.
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【题目】已知函数满足.
(Ⅰ)当时,解不等式;
(Ⅱ)若关于x的方程的解集中有且只有一个元素,求a的值;
(Ⅲ)设,若对,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.
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